哎呦喂，老铁们，你们高考完啦？是不是感觉整个人都解放了？哈哈，别急着放松，咱们来玩点刺激的！今天就带大家一起揭秘2021年全国二卷数学的答案和解析，咱们一起看看这道题到底有多难，看看你能答对几道！
先声明一下，我可不是老师，我是和你一样热爱游戏的玩家，所以咱们今天就当是玩游戏一样，轻松愉快地来分析一下这套卷子。
好啦，咱们废话不多说，直接进入主题！
2021年全国二卷数学，究竟有多难？
这套卷子啊，怎么说呢，就好像是一款难度适中的RPG游戏，既有简单的任务让你热身，也有挑战性的关卡让你思考。难度不算太高，但要想拿高分，还是需要一定的技巧和策略。
第一关：选择题
这关就相当于游戏中的“新手村”，都是一些比较基础的知识，只要你认真学习，掌握了基本的概念和公式，就能轻松过关。
举个例子，咱们来看看第12题：
题目：设$a,b$为正实数，且$a+b=1$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（）
分析：这道题其实就是考查了基本不等式，我们可以先进行变形：
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{ab}$$
然后根据基本不等式，我们知道：
$$ab\le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$
所以：
$$\frac{1}{ab} \ge 4$$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为4。
答案：D
怎么样？这道题是不是很简单？只要你掌握了基本不等式，就能轻松解出来。
第二关：填空题
填空题就有点像游戏中的“小副本”，需要你进行一定的计算和推导，才能得到正确答案。
比如咱们看看第14题：
题目：已知圆$C$的圆心在直线$y=x$上，且圆$C$与直线$x+y-2=0$相切，则圆$C$的半径为______。
分析：这道题主要考查了圆的方程和点到直线的距离公式。
我们假设圆心坐标为$(a,a)$，那么圆$C$的方程可以写成：
$$(x-a)^2+(y-a)^2=r^2$$
我们知道圆心到切线的距离等于圆的半径，所以可以根据点到直线的距离公式得到：
$$\frac{|a+a-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=r$$
化简得到：
$$r=\frac{|2a-2|}{\sqrt{2}}$$
由于圆心在直线$y=x$上，所以$a$可以取任意实数，因此圆$C$的半径为：
$$r=\frac{|2a-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}|a-1|$$
答案：$\sqrt{2}|a-1|$
这道题需要你运用多个公式，并且需要进行一些简单的计算，但总体来说难度也不算太高。
第三关：解答题
解答题才是真正考验你实力的关卡，就像游戏中的BOSS战，需要你运用各种知识和技巧，才能最终战胜它。
咱们先来看看第17题：
题目：已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，且$f'(1)=0$，$f''(1)=2$，求$f(x)$的表达式。
分析：这道题主要考查了导数的概念和运用。
我们根据题意可以得到：
$$f'(x)=3x^2+2ax+b$$
$$f''(x)=6x+2a$$
然后，我们根据题意可以得到：
$$f'(1)=3+2a+b=0$$
$$f''(1)=6+2a=2$$
解方程组可以得到：
$$a=-2$$
$$b=1$$
所以：
$$f(x)=x^3-2x^2+x+c$$
由于$f(x)$的表达式中还包含一个常数项$c$，所以需要我们根据其他条件来确定$c$的值。
答案：$f(x)=x^3-2x^2+x+c$
这道题需要你运用导数的概念，并进行方程组的求解，虽然步骤比较多，但只要你步步为营，就能顺利解决。
第四关：压轴题
最后一道压轴题，就相当于游戏中的终极BOSS，需要你集思广益，发挥你的聪明才智才能最终战胜它。
咱们看看第21题：
题目：设$a,b,c$为正实数，证明：
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$$
分析：这道题主要考查了不等式的证明，需要你运用一些技巧和方法。
一种常用的方法是使用柯西不等式，我们可以先进行如下变形：
$$\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b))\ge (a+b+c)^2$$
化简得到：
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$$
然后，我们可以使用柯西不等式：
$$(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)$$
所以：
$$\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\ge \frac{3}{2}$$
原不等式得证。
答案：证明见上文。
这道题需要你运用柯西不等式，并进行一些技巧性的变形，才能最终得到证明。
怎么样？玩了一圈下来，感觉这套卷子是不是很有意思？其实数学就像游戏一样，只要你掌握了规则和技巧，就能玩得得心应手。
希望我的讲解能够帮助你更好地理解这套卷子，也希望你能从中找到学习数学的乐趣！
你认为这套卷子难吗？你觉得哪道题最难？欢迎在评论区留言，与我分享你的想法！
